Ejercicios de desigualdades

Ya están aquí los ejercicios de desigualdades para resolver el jueves. Veamos otro ejemplo

Si tenemos una desigualdad del tipo  |a|<|b|  entonces multiplicando por  |a|  se tiene  |a||a|<|a||b|, es decir  |a|^2<|a||b|. De manera análoga multiplicando la desigualdad por  |b|  obtenemos  |a||b|<|b|^2. Tenemos entonces que  |a|^2<|a||b|  y  |a||b|<|b|^2. Juntando ambas desigualdades se tiene  |a|^2<|b|^2. Esto es, si  |a|<|b|\rightarrow|a|^2<|b|^2. Por otro lado, sabemos que  \sqrt{a^2}=|a|, entonces elevando al cuadrado esta igualdad se tiene  a^2=|a|^2, y de igual forma  b^2=|b|^2. Sustituyendo en la última desigualdad llegamos al resultado:

|a|<|b|\rightarrow a^2< b^2

que es muy útil para resolver desigualdades con dos valores absolutos (también es válido para  \leq, >  y  \geq), por ejemplo:

|3+2x|<|4-x|\rightarrow(3+2x)^2<(4-x)^2

desarrollando los cuadrados y agrupando términos

9+12x+4x^2<16-8x+x^2\rightarrow3x^2+20x-7<0

Para factorizar el polinomio primero encontramos las raíces mediante la fórmula cuadrática

x=\dfrac{-20\pm\sqrt{20^2-4(3)(-7)}}{6}=\dfrac{-20\pm\sqrt{400+84}}{6}=\dfrac{-20\pm22}{6}

Las raíces son entonces

x=\dfrac{-20+22}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}  y  \dfrac{-20-22}{6}=\dfrac{-42}{6}=\dfrac{-21}{3}=-7

de la primera raíz tenemos  x=\dfrac{1}{3}\rightarrow 3x=1\rightarrow 3x-1=0  y de la segunda  x=-7\rightarrow x+7=0

El producto de estos dos binomios es la factorización del polinomio original (chéquenlo!)  3x^2+20x-7=(3x-1)(x+7)

La desigualdad a resolver es entonces  (3x-1)(x+7)<0

Como el producto es negativo los binomios tienen que tener signos distintos

Caso 1)  3x-1>0  y  x+7<0, entonces  x>\dfrac{1}{3}  y  x<-7. No hay ningún intervalo donde se cumplan ambas condiciones por lo que este caso no tiene solución.

Caso 2) 3x-1<0  y  x+7>0, entonces  x<\dfrac{1}{3}  y  x>-7. Ambas condiciones se satisfacen en  \left(-7,\dfrac{1}{3}\right)

Por lo tanto la solución final es   \left(-7,\dfrac{1}{3}\right).

En esta entrada hay otro ejemplo de este tipo, y en esta otra entrada encontrarán un ejemplo resuelto mas de otro tipo de desigualdad.

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Una respuesta a “Ejercicios de desigualdades

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