Diferenciación implícita

Recordemos que si y=f(x) es una función desconocida de x que suponemos derivable, entonces podemos derivar y^n implícitamente utilizando la regla de la cadena

\dfrac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx},

y en caso de tener que derivar expresiones del tipo \dfrac{x^2y^3}{x+y^2}, con respecto de x, las reglas de derivación (de un producto, cociente, etc.) se siguen aplicando.

Veamos dos ejemplos más donde apliquemos diferenciación implícita

Encuentra las rectas tangentes y normal a la curva en el punto dado para

1. \left(x^2+y^2\right)^2=(x-y)^2  en  (-2,1)

2. x\text{sen}2y=y\text{cos}2x  en  \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)

Entonces, derivando ambos lados de la expresión 1 con respecto a x

\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{d}{dx}(x-y)^2

2\left(x^2+y^2\right)\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=2(x-y)\dfrac{d}{dx}(x-y)

2\left(x^2+y^2\right)\left(2x+2y\dfrac{dy}{dx}\right)=2(x-y)\left(1-\dfrac{dy}{dx}\right)

Simplificando y agrupando términos

2x\left(x^2+y^2\right)+2y\left(x^2+y^2\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-(x-y)\dfrac{dy}{dx}

\left(2yx^2+2y^3+x-y\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-2x^3-2xy^2

de donde obtenemos

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y-2x^3-2xy^2}{2yx^2+2y^3+x-y}

Evaluando la derivada en el punto dado obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(-2,1)}=\dfrac{-2-1-2(-2)^3-2(-2)(1)^2}{2(1)(-2)^2+2(1)^3-2-1}=\dfrac{17}{7}

Sustituyendo la pendiente y el punto en la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto

y-1=\dfrac{17}{7}(x+2)

que podemos reescribir como  17x-7y+41=0

Para encontrar la pendiente de la recta ortonormal utilizamos el hecho de que dos rectas con pendientes m_1  y  m_2  son perpendiculares si  m_1=-\dfrac{1}{m_2}  Entonces la pendiente de la recta normal es  m=-\dfrac{7}{17}  y

y-1=-\dfrac{7}{17}(x+2)  es la ecuación buscada.

Derivando implícitamente la segunda función

 \dfrac{d}{dx}x\text{sen}2y=\dfrac{d}{dx}y\text{cos}2x

\text{sen}2y+2x\text{cos}2y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\text{cos}2x-2y\text{sen}2x

Agrupando términos

(2x\text{cos}2y-\text{cos}2x)\dfrac{dy}{dx}=-(2y\text{sen}2x+\text{sen}2y)

Despejando la derivada

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2y\text{sen}2x+\text{sen}2y}{2x\text{cos}2y-\text{cos}2x}

Evaluando en el punto

\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(\pi/4,\pi/2)}=-\dfrac{\pi}{-\frac{\pi}{2}}=2

La pendiente de la recta normal es entonces  m=-\dfrac{1}{2}

y las ecuaciones de las rectas tangente y normal son

2x-y=0  y  4x+8y-5\pi=0,  respectivamente.

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