Límites trigonométricos

Recuerden que esencialmente cualquier límite trigonométrico se puede calcular con estos tres resultados básicos:

(a) {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\dfrac{\text{Sen}x}{x}=1

(b) {\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}}\text{Sen}x=x_{0}

(c) {\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}}\text{Cos}x=x_{0}

más las definiciones de las funciones trigonométricas y, en algunas ocasiones, algunas identidades básicas.

Veamos un ejemplo más: evaluar    {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\dfrac{x\text{Cot}4x}{\text{Sen}^{2}x\text{Cot}^{2}2x}

1. {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\dfrac{x\text{Cot}4x}{\text{Sen}^{2}x\text{Cot}^{2}2x}={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left(\dfrac{\dfrac{x\text{Cos}4x}{\text{Sen}4x}}{\dfrac{\text{Sen}^{2}x\text{Cos}^{2}2x}{\text{Sen}^{2}2x}}\right)

2. ={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left(\dfrac{x\text{Cos}4x\text{Sen}^{2}2x}{\text{Sen}^{2}x\text{Sen}4x\text{Cos}^{2}2x}\right)

3. ={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left(\dfrac{x}{\text{Sen}^{2}x}\cdot\text{Sen}^{2}2x\cdot\dfrac{1}{\text{Sen}4x}\cdot\dfrac{\text{Cos}4x}{\text{Cos}^{2}2x}\right)

4. ={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left(\dfrac{x^{2}}{\text{Sen}^{2}x}\cdot\dfrac{\text{Sen}^{2}2x}{(2x)^{2}}\cdot\dfrac{4x}{\text{Sen}4x}\cdot\dfrac{\text{Cos}4x}{\text{Cos}^{2}2x}\cdot\dfrac{4x^{2}}{4x^{2}}\right)

5. ={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left[\left(\dfrac{x}{\text{Sen}x}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{\text{Sen}2x}{2x}\right)^{2}\cdot\dfrac{4x}{\text{Sen}4x}\cdot\dfrac{\text{Cos}4x}{\text{Cos}^{2}2x}\right]

6. ={\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\left[\dfrac{1}{\left(\dfrac{\text{Sen}x}{x}\right)^{2}}\cdot\left(\dfrac{\text{Sen}2x}{2x}\right)^{2}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{\text{Sen}4x}{x}}\cdot\dfrac{\text{Cos}4x}{\text{Cos}^{2}2x}\right]

7. =\dfrac{1}{(1)^{2}}\cdot(1)^{2}\cdot\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{1}{1}=1

  1. Por la definición de \text{Cot}x.
  2. Simplificando la fracción.
  3. Separando los productos del numerador y del denominador, esto con la finalidad de identificar más fácilmente los factores por los que tenemos que multiplicar y dividir para que nos queden productos del tipo (a).
  4. El primer término lo multiplicamos por x y el tercero por 4x, entonces para compensar hay que dividir entre 4x^{2}. El segundo término lo dividimos por (2x)^{2}, entonces para compensar hay que multiplicar por lo mismo, es decir por 4x^{2}. Las compensaciones aparecen en el último término, y se cancelan. Recuerden: el objetivo de todo esto es que nos queden productos del tipo seno de algo entre lo mismo, como en (a). No importa si están “de cabeza” como en los términos 1 y 3, o elevados a una potencia como en los términos 1 y 2. El término con los cosenos no tiene problema alguno y se puede evaluar directamente.
  5. Simplificando, usando \dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}
  6. Acomodando los términos que están de cabeza, usando \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\dfrac{b}{a}}
  7. Eso es todo, ya podemos evaluar directamente el límite, empleando los teoremas de límites y los resultados (a) y (c).
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Archivado bajo 11-I, Apuntes, Ejercicios

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