Dominio y rango de funciones

Como vimos en clase el dominio de una función es el conjunto de números para los cuales la función está bien definida

D_{f}=\left\{ x\in\mathbb{R}|f(x)\in\mathbb{R}\right\},

y el rango es el conjunto de todos los valores que toma la función al variar en su dominio

R_{f}=\left\{ f(x)\in\mathbb{R}|x\in D_{f}\right\}

Si conocemos la gráfica de la función entonces es fácil leer el rango directamente de la gráfica, pero si no es así entonces tenemos que determinarlo directamente de la expresión algebraica de la función, igual que el dominio. Veamos algunos ejemplos

Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones

  1. f(x)=1+x^{2}
  2. f(x)=1-\sqrt{x}
  3. f(x)=\sqrt{5x+10}
  4. f(x)=\sqrt{x^{2}-3x}
  5. f(x)=\dfrac{4}{3-x}

El dominio de la primer función es todos los reales, pues todo número real lo podemos elevar al cuadrado y sumarle uno y el resultado es otro número real. Para encontrar el rango hacemos y=f(x) y despejamos x como función de y. Entonces los valores de y para los cuales x está bien definida es el rango de la función.

Veamos cómo funciona. Tenemos

y=1+x^{2}, entonces x^{2}=y-1 y sacando raíz cuadrada (recuerden que \sqrt{x^{2}}=\left|x\right|) se obtiene

\left|x\right|=\sqrt{y-1},

que podemos reescribir como

x=\sqrt{y-1} ó x=-\sqrt{y-1}.

En ambos casos lo que está dentro de la raíz tiene que ser positivo o cero para que x sea un número real. En consecuencia y\geq1 y el rango de la función es entonces [1,\infty). El procedimiento para despejar a x como función de y no siempre es fácil o siquiera posible, pero puede ser útil en algunos casos.

Para la segunda función excluimos todos los números negativos del dominio, pues recuerden que no hay raíces cuadradas de números negativos, por lo que el dominio es [0,\infty).

Para encontrar el rango hacemos y=1-\sqrt{x} y entonces \sqrt{x}=1-y. No es necesario despejar más. Como \sqrt{x} siempre es positiva o cero, el lado derecho de la última ecuación también tiene que serlo. Por lo tanto y\leq1 y el rango de la función es (-\infty,1].

Para la función 3 el dominio es tal que lo que está dentro de la raíz sea positivo o cero, entonces 5x+10\geq0 lo que implica que x\geq-2 y el dominio es [-2,\infty). Encontrar el rango en este caso es muy fácil, pues \sqrt{5x+10} siempre es positivo o cero y por lo tanto y también. Entonces el rango es [0,\infty).

Para encontrar el dominio de la función 4 hay que resolver la desigualdad x^{2}-3x\geq0 que podemos reescribir como x(x-3)\geq. Una vez considerados los dos casos la solución es (compruébenlo!): x\geq3 ó x\leq0 y el dominio es entonces (-\infty,0]\cup[3,\infty). El rango nuevamente es  [0,\infty) pues \sqrt{x^{2}-3x} siempres es positivo o cero.

Finalmente, para la última función excluimos del dominio los puntos donde el denominador se hace cero, que en este caso es solamente x=3. Por lo tanto el dominio es (-\infty,3)\cup(3,\infty). Para encontrar el rango hacemos

y=\dfrac{4}{3-x}

y despejamos x, entonces

(3-x)y=4 \rightarrow 3y-xy=4 \rightarrow xy=3y-4 de donde finalmente obtenemos

x=\dfrac{3y-4}{y}.

Entonces es claro que y no puede ser cero y en consecuencia el rango es (-\infty,0)\cup(0,\infty).

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3 comentarios

Archivado bajo 11-I, Apuntes

3 Respuestas a “Dominio y rango de funciones

  1. MARCO A

    ESTA BIEM , PERO FALT A DE LAS DEMAS FUNCIONES

  2. Andres Mass

    Muchas Gracias Ricardo me ha sido de mucha utilidad

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